哈密顿-雅可比-爱因斯坦方程

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廣義相對論中,哈密頓-雅可比-爱因斯坦方程英语:Hamilton–Jacobi–Einstein equation,簡稱HJEE)是一道哈密頓形式、描述超空間中的幾何力學的方程。創於「幾何力學年代」,這方程由亚瑟·佩雷斯(Asher Peres)在1960給出,目的是更正廣義相對論以令其成為量子理論的半古典近似,就像量子力學古典力學一樣對應關係。

這方程包含了全部10道愛因斯坦場方程式EFEs),亦是古典力學中哈密頓-雅可比方程式HJE)的修正,並可以從ADM形式中的愛因斯坦-希爾伯特作用量,以最小作用量原理推導。

背景及動機[编辑]

古典與量子物理的對應關係[编辑]

古典分析力學中的一個系統的動力學是由作用量S所概括。而各量子理論,即非相對論量子力學、相論對量子力學及量子場論,各有不同的詮釋及數學形式,但一個系統的行為都是完全由一個機率幅 Ψ(正式來說是量子態ket 希爾伯特空間中的元素)。Eikonal的半古典近似給出

當中Ψ相位可被詮釋為作用量,而模值ρ = Ψ*Ψ = |Ψ|則可被根據哥本哈根詮釋機率密度函數約化普朗克常數ħ是「作用量的量子」。代入一般形式的薛丁格方程式(SE),則有

ħ → 0極限則得到古典的HJE:

這是對應原理其中一個結果。